高中数学课堂优质教学的四个特征分析
    ——以“正切函数的性质与图象”为例
        

黄桂林 许世红

    高中数学有效教学的研究是数学教师永恒思考的话题。有效存在高效与低效之分,高效教学才是大家的追求目标。高效教学也可以表达为优质教学。
    从教师引导、促进学生学习的角度来看,优质教学关注的是学生的进步与发展。  下面结合“正切函数的性质与图象(黄桂林执教)”探讨优质教学的特征,与同行交流。
   
    一、学后再讲,突出讲解的针对性
   
    当学生已经能够自己阅读教材和自己思考的时候,就要先让他们自己去阅读和思考,然后针对学生阅读和思考中提出和存在的问题进行教学,这样的教学才是优质的。
    在学习正切函数前,学生不仅系统研究过幂函数、指数函数和对数函数,而且还系统研究过正弦函数、余弦函数的图像与性质,初步掌握了研究三角函数图像与性质的方法。因此,学生已经初步具备了独立探索正切函数图像与性质的基础。
    为了让学生更好地体会研究函数方法的多样性,正切函数从性质入手研究图像,因此,教师在上课前,给学生布置了预习的任务,要求学生通读相关教材。上课前,学生初步了解本节课要学习的常识点,但对其中蕴涵的数学规则与思想方法缺少深入思考。
    基于这样的教学准备,教师组织教学时,首先点明y=tanx就是正切函数,直接切入主题。然后引导学生采用类比的方法,归纳出需要从7个方面研究y=tanx性质:定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性、对称性、其它特性。这种梳理既依据教材,又高于教材。
    研究奇偶性时,教师及时补充判断函数奇偶性的方法与步骤,先判断定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,根据诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z得出y=tanx是奇函数。此处教师的讲解针对学生思考上的盲区,很好地弥补了学生常识上的漏洞。
    研究对称性时,则分成两个阶段处理。第一阶段,先根据y=tanx是奇函数,结合奇函数的特点得出图像关于原点对称。第二阶段,由性质探索图像、得到图像的完整形态后,再引导学生观察图像的特点,思考是否还存在其它的对称中心,完善对图像对称性的认识。这样,教师的讲解就更突出层次性与针对性。
    只有建立在学生独立学习基础上的课堂教学,才有可能走在发展的前面,并推动发展,从而不断地创造最近发展区,并把最近发展区转化为新的现有发展区。这是有效教学、优质教学的心理学机制。
   
    二、系统呈现研究问题的方法,凸显教师的引领作用
   
    从学生的角度思考、设计教学,对教师的教提出的要求更高。教师的教最终需要促成学生掌握学习的方法,能够独立完成学习,因此,优质教学的课堂,教师的教应重在引领,重在呈现研究问题的思路与方法,努力把教师掌握的方法转化为学生能够使用的方法。
    由于学生已经有了研究函数的经验,本节课教学重点就放在运用类比、由数推形、由形得数、数形结合等方法研究正切函数的性质与图像,突出研究方法的价值。
    研究y=tanx的周期性时,教师首先引导学生思考周期性研究的方法,即如何找到实数T使得对于定义域中的任意x均有f(x+T)=f(x),再启发学生根据所学诱导公式tan(x+π)=tanx,得出y=tanx是周期函数,π是一个周期。y=tanx是否存在最小正周期?如果存在,如何证明呢?这样从思考问题方式的引导、解决问题的方法引导、课堂课后学习内容选择的引导等方面,指引学生分步进行深层次的思考,既落实了课内基础常识的学习,又激发学有余力的学生向更高的领域去探索与拓展。
    如何根据性质来探索图像对学生而言是一个难点。从方法的角度引领学生思考探索的策略与途径才能更好地突出教师的价值。下面的课堂实录片段较好地呈现出教师在方法上的引领作用。
    师生共同探讨:由y=tanx的定义域知,其图像被直线x=kπ+,k∈Z分成了一段段,图像是间断的;由单调性知,在每个区间(kπ-,kπ+,k∈Z上,图像连续,而且都是增函数;由周期性知,图像重复出现,只需要作出一个周期的图像,再左右平移即可得出整个函数图像;由奇偶性知,图像关于原点对称。(师生边分析,教师边在黑板上画出草图)。
    师:现在,大家能不能根据这些性质推测出正切函数的大致图像,猜想出图像的大致形状呢?
    生:能。
    师:能不能根据刚才研究出的性质,准确画出正切函数的图像呢?
    生:不能。
    师:大家想一想,大家作函数图像一般是怎么作的?
    生:列表描点连线。
    师:对。可是正切函数值好不好求啊?大家画正弦线的时候是通过什么方法作的呢?
    生:三角函数线。这里,可以用正切线来表示正切函数值,然后描点、连线。
    师:请问大家作那一个范围里的图像好呢?(0,π)?
    生:不好,因为这个区间被隔断了。
    师:那么选择哪个区间好呢?
    生:(-),这个区间没有间断点。
    师:好,为了图像比较准确,下面大家用多媒体来作图。(用几何画板演示动态平移过程,图如下)
   
    师:大家观察直线x=-和x=与正切函数的图像有什么关系?它能穿过两条直线吗?与两条直线有交点吗?
    生:不能穿过两条直线,与两条直线也没有交点。但曲线会随着x减小或增大离直线x=-和x=越来越近。
    师:对。曲线会渐渐靠近直线x=-和x=。所以大家把直线x=-和x=称为曲线的渐近线。这个就是正切函数的一个特性。(板书:渐近线)
    师:根据函数的周期性,如何画出正切函数的图像呢?
    生:把(-)内的图像向左或向右平移kπ个单位。
    师:对。大家把正切函数的图像称为正切曲线。
    借助用三角函数线做正弦、余弦函数图像的方法,学生采用类比的思想,自然想到用正切线来画y=tanx的图像。根据y=tanx的周期性,研究图像只需要先做出一个周期内的图像即可。如何选择一个周期呢?这时,采用数形结合的方法进行探讨则显得特别有效。从定义域与值域看,x=时y=tanx没有意义,所以在区间[0,π],y=tanx的图像不连续,其图像的研究不够自然;而在区间(-),每个自变量的取值都是有意义的,可以推断该区间上的图像是连续的,因此,确定选择(-)作为一个周期,来探索y=tanx的图像。这种研究方法上的明确引导,对学生今后开展独立探索学习是非常必要的。
    从学生的角度思考、设计教学,不是放弃教师的主导地位,而是更好地发挥教对学的引领作用,一方面教师应负担引导的责任,一方面学生应负起学习的责任。对于一个问题,只有教师把解决方法如何找来的手续、程序安排停当,引导学生,使学生能够像老师一样以最短的时间、经过相类似的经验、发生相类似的思维,自己将这个方法找出来,并且能够利用这种经验与思想来找别的方法,解决别的问题,教学才是优质的、成功的。
   
    三、整体展现所学常识,强化主干与核心常识
   
    从动态发展角度来看,教学是一个“从教到学”的不断转化过程,每堂课都在进行这种传递与转化。既然教最终需要转化为学,那么每节课都让学生清晰地明确需要学习的常识,明确常识间的联系与层次,才能够提高学生的学习效率,最终提高课堂的教学效率。
    为了完整地呈现本节课常识间的联系与结构, 本节课主要采用传统的板书教学,并保证本节课的核心常识与主干常识保留在黑板上,突出学习的重点。板书如下。
   

正切函数的性质与图像

一、性质

1.       定义域:

2.       值域:

3.       最值:

4.       奇偶性:

5.       周期性:

6.       单调性:

7.       对称性:

8.       其它性质:

二、图像

 


    这种教学技巧很好地反映出中国数学教学的优良传统,体现出“粉笔+黑板”这种经典课堂结构的生命价值:师生的思维交流在黑板上留下了生动的印迹,且呈现出详略、主次的旋律。一开始,教师把学生提出的研究问题“定义域,值域,最值,奇偶性,单调性,周期性,对称性,其他性质” 一列板书,让学生明确本节课所要解决的问题;每解决了一项,教师都把最后的结果书写到对应问题的后面;这样,问题都解决了,一节课的学习任务就完成了,学生对所学内容一目了然。
    在实施新课程的过程中,如何发扬优良传统,实现数学课堂的优质教学,更需要大家在实践中不断总结。
   
    四、正确处理讲授与练习的关系
   
    高中数学由于概念多、公式多、性质多、技巧多,教师通常都觉得学生需要多练习。但是课堂上的时间非常有限,如何处理讲授与练习的关系,不少教师感到为难。
    新课程提倡学生自主学习,有些教师则走到另一个极端,课堂上就是让学生做练习,然后讲练习,让学生重复训练。有些教师认为让学生多做练习,多到黑板上做题就是充分发挥了学生的主观能动性,以学生为主体。其实这是走进了一个误区。高中学生的年龄段基本在16—18周岁之间,他们更喜欢的不是模仿,不是感性思维,而是类比,创新,举一反三,理性思维。其实真正的师生互动,应该是思想的碰撞,灵感的冲击。
    高中数学学习中,有的课堂必须以教师讲为主,有的课堂则必须以学生练为主,不能一刀切地评判。由于高中数学中存在很多问题绝大部分学生难以独立领悟其本质,因此,需要教师的讲解与引导,在这些关键环节上,教师不能轻易放弃自己的职责,应该做到讲透、讲清,在此基础上引导学生思考规则与方法的迁移与运用。
    本节课教师讲授时间超过30分钟,因为本节课的研究涉及方法与规律的点拨,教师必须履行自己的职责。下一节课主要研究正切函数性质与图像的应用,则以学生独立研究为主,课堂教师的讲授时间应控制在15分钟以内。
   
    优质教学关注学生学习的同时,也对执教教师的自身素养提升有着更高的希望。从教师教的角度来看,优质教学通常有三个特征:(1)深入浅出。教师不仅要把教材看懂,而且看穿、看透,从而挖掘出教材的内涵。教师把教材钻得深,悟出来的道理就透彻,讲起课来就清晰、简单。教师能把课上得深入浅出,是一种智慧、一种艺术、一种境界,是教学精良化、高效化的直观表现。(2)预设充分。教师非常熟悉学生的思维特点与方式,洞悉学生的思维困惑,能够在关键处点拨,引导学生突破学习困境,达到新的学习境界。(3)机智生成。教育机智是教师在教学实践活动中的一种随机应变的能力。尽管事先进行了周密的设计,但教师上课时总会碰到许多“非预期性”的教知识题,若上课时对这些问题束手无策或处理不当,课堂教学就会陷入困境或僵局。优质教学的课堂往往在生成过程中灵感闪现,奇思妙想在瞬间被激活,从而展现师生思维的智慧之光。这三个特征突出的是教师的专业素质。
    无论是关注学,还是关注教,优质教学的实现最终取决于教师的专业素质,让大家为实现数学课堂的优质教学共同努力。
   
    参考文献
    【1】余文森,论有效教学的三条“铁律”,中国教育学刊,2008.11。
    【2】李晓龙,优质教学所具备的特征,河南教育(上旬),2008.
   
   
      
      
           
  (编辑单位:广州市第65中学   广州市教育局教学研究室)
 选自《 广州教学研究》总第483期  

   


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