利用正方体模型突破立体几何的教学难点
        

孔祥明

    立体几何一向是学生感到难学的内容,难学的原因主要有两条:一是立体几何涉及的关系比较多(表现为概念多、定理多),这些关系之间的转化又很灵活,常常体现出较高的技巧性;二是立体几何的直观图形不能像平面几何图形那样给学生提供全真的视觉信息(如两条看似相交成锐角的直线其实是互相垂直的异面直线等),需要学生充分发挥空间想象,克服视觉的直观干扰。
    根据笔者的教学体会,突破上述两大难点的关键之一是抓好正方体的研究。
   
    一、正方体模型的价值分析
   
    正方体是空间图形中最特殊且内涵最丰富的几何图形,它享有“万能模型”的美称。正方体称为立体几何教学的一个关键突破口,主要因为它具有如下四方面的特点。
    1. 正方体是学生最早接触和最熟悉的空间图形,同时它也是一个空间感很强的几何图形。借用它来教学立体几何,学生心理上容易接受,从而畏难情绪也大为降低,这样有助于学生思考和观察空间问题,降低思维难度。
    2.正方体能完美体现立体几何核心常识。正方体包含了众多的空间中基本的线线关系、线面关系、面面关系,基于正方体模型,即可把立体几何中基本概念与基本定理梳理清楚。
    3.对正方体进行切截、割补,可以得到多种多样的柱体、台体、锥体等,既可以拓展、丰富立体几何的研究空间,又体现出图形与常识间的内在联系。
    4.正方体是探索解题思路的重要突破口。很多立体几何问题由于线面关系复杂或图形不容易画,导致思路阻塞。借助正方体模型,可以把要研究的问题放置于更大的背景之中,从整体上更好地看清各部分之间的关系。
    因此,课标版的高中数学教材以正方体模型作为基本出发点组织编写教学内容,在实践中,教师更应充分发挥正方体模型的价值,积极高效地引导学生进行立体几何的学习。下面结合笔者的实践,谈几点具体做法与大家交流。
   
    二、透彻剖析正方体,感悟、梳理立体几何的核心常识
   
    1.正方体中包含了众多的点、线、面及其相互关系,剖析正方体,有助于学生理解正方体的价值,并高度重视正方体的作用。
    现归纳正方体的常见特征如下:
    (1) 正方体有6个面、8个顶点、12条棱,且满足面数+顶点数-棱数=2。
    (2) 正方体的12条棱可以组成24对异面直线。
    (3) 正方体有13条对称轴、9个对称面。
    (4) 由正方体的顶点组成的三角形中,锐角三角形8个,直角三角形48个。
    (5) 正方体绕其对角线旋转120°后,与原正方体位置重合。
    (6) 正方体的内切球半径为,外接球半径为
    (7) 一个平面截正方体,其截面可以是:三角形(锐角三角形的面积在之间)、正方形(面积)、菱形(面积在之间)、矩形(面积在之间)、梯形、平行四边形、五边形、六边形。
    2. 正方体中具有特殊意义的线、面往往单独形成研究系列,例如正方体的棱、面对角线、体对角线通常简称为正方体的三类线,正方体的底面、对角面、α平面(注:底面是指正方体的底面或侧面、由首尾相连的三条面对角线所确定的正方体的截面记为α平面)通常简称为正方体的三类面,围绕这些线与面可以编制出系列有趣的问题。
    (1) 求三类线两两的夹角度数;
    (2) 求三类线与三类面间线面所成的角的大小;
    (3) 求三类面间分别组成的二面角的大小;
    (4) 求三类线中异面直线的距离;其中最典型的是两相邻侧面对角线间的距离(),其求法又可以成为求异面直线的基本图形和基本方法。
    【例1】如图,E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1所在直线上一点,C1E=CC1=BC=1。
    (1)求异面直线D1E与B1C所成角的余弦值;
    (2)求直线AC与平面D1EB1所成的角;
    (3)求两平面B1D1E与ACB1所成的锐角二面角的余弦值;
    (4)求点A到直线D1E的距离;
    (5)求点A到直线D1EB1的距离;
    (6)在直线B1E上找一点P,使直线D1P∥平面AB1C;
    (7)在直线B1E上找一点P,使直线D1P⊥平面AB1C;
    (8)在平面AB1C上找一点P,使直线EP⊥直线D1B。

    
    分析:利用正方体这个载体,大家把本章所有考查的内容、方法都融合在一道具体的题目中,在教学时还可以进一步地变式和添加内容,为教学的核心服务。如可以用(1)、(2)、(3)三问及其变式让学生掌握空间向量这一工具,并让学生感悟用空间向量解决立体几何的思路清晰之美,用(4)、(5)两问及其变式让学生明白借助法向量来解决立体几何中的度量问题,用(6)、(7)、(8)三问及其变式让学生掌握空间向量处理几何问题的具体操作。
    【例2】从正方体的12条棱和各面的12条面对角线中选出n条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,求n的最大值。

    
    分析:如图,取AB1、BC1、CD1、DA1,这四条显然两两异面,所以n≥4。又这四条直线经过了正方体的8个顶点,如果存在另一条直线与前面的四条直线都异面,他必经过正方体的两个顶点,从而与前面的四条中的两条相交,矛盾,所以n≤4。所以n的最大值为4。
    教学实践证明:解决上述问题的过程,需要学生从各个角度观察和思考,这些对学生的训练很有好处,也颇富情趣,为今后解决立体几何的各种问题奠定坚实基础。
   
    三、构造正方体,凸显线面之间的主要关系
   
    【例3】如图3,在三棱锥O-ABC中,三条棱OA,OB,OC两两互相垂直,且OA=OB=OC,M是AB边的中点,求OM与平面ABC所成角的正切值。
   
    分析:把三棱锥O-ABC放进正方体之中,易知∠CMO就是OM与平面ABC所成角,其正切值tan∠CMO=
    【例4】(2006年浙江高考题)正四面体ABCD的棱长为1,棱AB//平面α,则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是       
   
    分析:这个问题直接求解比较困难。但是,当把此正四面体放入正方体“模型”之中,如图4,问题就变得清晰。设想一束光线照射正方体时,正四面体的射影面积的最值应该在特殊状态下取到。很显然,光线照射正方体有三个方向是特殊的:正面、侧棱、顶点,得到的射影依次为边长为的正方形、底边为1其对应高为的三角形、边长为1的正三角形。容易求得三个特殊射影的面积分别为取值范围应该为
    【例5】(2006年江苏高考题)两底面相同的正四棱锥组成如图5所示的几何体,可放在棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面与正方体的某一个平面(如水平面)平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有(   )
    
    (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)无穷多个
    分析:正四棱锥与正四面体一样也能构建一个正方体作为模型并利用正方体的优美的对称性来解决问题,把两个正四棱锥组成的几何体放入其正方体模型中,上、下顶点分别位于正方体上、下底面的中心,其底面正方形只要内接于正方体的中截面正方形即可,这样问题即转化为考察一个正方形可以有多少个内接正方形,显然有无穷多个。
    【例6】已知三条直线两两异面,能否找到一直线与这三条直线都相交?如能,有几条?
    分析:在课堂上,多数学生拿到此题都感到无从入手,主要难点是难以画出立体感很强的立体图,来体现三条直线的两两异面关系,因此无从思考。如果借助正方体做背景,则一切都显得简单。如图6在b上任取一点M,与a构成一个平面ABM,ABM与c相交于N,连接MN与a相交于P,则过点M有PN与a,b,c相交,而b上有无数个这样的点M,所以满足题目要求的直线有无数条。
    例3-6说明,立体几何的所有概念、线面关系及立体图形都可以直接或间接地和正方体联系起来,正方体具有强大的解题功能。
   
    四、以正方体为基础,编制丰富的立体几何习题
   
    【例7】如图7,已知正方形ABCD的边长为a,其中心为O。设PA⊥平面ABCD,EC∥PA,且PA=a。问CE长为多少时,PO⊥平面BED。
   
    说明:此题为笔者06年数学备考时自己编制的题目。我开始以正方体为背景,研究其中的点、线、面关系(如图8),最后把无关紧要的点、线、面隐含,就得到本题。
    解答时,借助正方体做模型,易证明CE=a时,PO⊥平面BED。
    【例8】利用正方体可以分割出正四面体和正八面体,借助正方体容易发现正四面体和正八面体的性质(如正四面体的对棱互相垂直等)。
      
    正方体是立体几何中基本的图形,它是学生理解空间概念以及培养学生空间想象力的重要工具也是解决立体几何题的重要模型,立体几何的教学一定要挖掘并发挥正方体的教学潜能。
   
    参考文献:
    [1]罗增儒.著.数学解题学引论陕西师范大学出版社.
    [2]钟善基.主编.中国著名特级教师教学思想录.中学数学卷.
   
   
      
           
  (编辑单位:广州大学实验中学    本文学科编辑:许世红)
 选自《 广州教学研究》总第483期  

   


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