2004年数学新课程高考函数内容命题趋势分析

杨 勤 谭建东

  一、2004年高考函数内容命题趋势的分析  函数是中学数学重要的基础常识,应用十分广泛,函数的思想方法贯穿于整个高中数学,对分析和解决各种数知识题和实际应用题具有重要作用,在历年的高考试题中函数的内容都保持较高的比例。2004年广东数学高考,函数仍应是重点考查的内容之一。
  1.历年新课程高考函数内容分析
  近四年新课程高考卷对函数及其相关常识(不含三角函数)考查的分值依次为2000年(36分)、2001年(34分)、2002年(33分)、2003年(39分),约占试卷的20%—30%;试题有容易题、中档题,也经常出现难题,难度较大的试题通常是考查函数与方程、不等式、数列、解析几何、导数等常识的综合运用;考查函数常识的试题几乎都涉及到中学数学里所有的思想方法,如数形结合、函数与方程、分类讨论、化归等思想方法;近几年还加大了对数学语言和实际应用能力的考查力度。
  近四年的新课程高考卷不但重视对函数原有“三基”的考查,而且还不断加大了对新增内容的考查力度。考卷中很多有关函数的试题都是在深挖教材和历届高考试题的基础上编拟而成,且难度都不大。以近几年难度最大的2003年高考试题为例,第3小题(例13)考查分段函数和解简单的指数不等式;第5小题(例18)考查反函数的求法,涉及复合函数及形如函数y=(x+a)/(x+b)的值域问题;第7题考查二次函数的图像和性质,涉及导数的几何意义等;第17题考查三角函数的图像和性质;第19题(理)考查导数的应用和含参数的不等式的解法,(文)考查导数与二次函数,解析几何的综合应用。其中第3、第5和第17题难度都不大,题型也比较常规,第7和第19题题型较新,综合性较强,难度较大,但都很注意“三基”的考查,体现了高考命题的原则和引导思想。
  2.总体命题趋势分析
  新课程高考命题坚持“三个有助于”的原则,以全面考查基础常识,积极支撑课程改革为命题的引导思想。预测2004年广东新课程高考函数常识的命题趋势为:(1)重视考查“三基”,不刻意追求常识的覆盖率;(2)集合与映射、反函数、函数图像、二次函数、指数函数、对数函数仍会以基本要求为主,函数的“三性”问题、数形结合思想仍是考查的重点和热点;(3)对函数性质的考查,常识的载体可能是一次函数、二次函数、对数函数、三角函数,甚至是抽象函数,也可以在解方程、不等式、数列、解析几何等问题中体现;(4)用导数解决单调性、恒成立求参数范围、应用题求最值等问题很有可能以中等难度题出现,切线问题虽然连续考了两年,但它是导数的重要常识和与其他专题的衔接点,仍然有可能再考查。
  二、主要考点的分析和展望
  1.集合与映射
  集合的有关常识,基本上年年都考,但以基本概念的考查为主。今年高考仍可能是以基本要求为考查目标的选择题。如例1~4的要求:
  例1.设全集为r,f(x)=sinx,g(x)=cosx,m={x│f(x)≠0},n={x│g(x)≠0},那么集合{x│ f(x)·g(x)=0}等于( )
  

  例2.设集合a={x|x-a|<2},,若a∈b,则实数a∈[0,1]
  例3.已知映射f:a→b,其中集a={-2,-2,0,1,2,3,4},集合b中的元素是a中元素在映射f下的象,且对任意的a∈a,在b中和它对应的元素是a2,则集合b中的元素的个数为( )
  a.2 b.3 c.4 d.5 (选d)
  例4.已知集合a={1,2,3,4},b={a,b,c},则映射f:a→b的个数为( )
  a.4 b.24 c.81 d.64 (选c)
  2.函数的概念与函数的性质
  函数的概念和性质仍将是今年高考重点考查的内容之一,可能会将概念、图像、性质、数学思想等综合在一起考查。在题型分布上,既有客观题,也有主观题,既有容易题与中等题,也可能有综合性很强的难题。考查的载体可能是初等函数,也可能是不等式、数列,甚至是以几何问题特别是解析几何为背景的函数综合题。重点考查内容可能有:1对函数符号f(x)的理解;2奇偶性的判断;3求函数值;4单调性的判断或证明,会求一些简单函数(包括简单的复合函数)的单调区间;5会利用函数的单调性比较大小、求函数的值域、最值及解不等式等;6方程思想、数形结合和化归等思想,重点考查如例5~9的类型。
  特别需要注意的是:
  (1)函数的对应法则可以是具体的解析式,也可以是图像和表格,甚至可以是抽象函数(如y= f(x)),仅给出函数符号而未给出具体解析式的函数问题已成为近年高考考查的热点问题之一。如2000年高考卷的应用题、2001年高考卷的第22题(理)、2002年全国文理卷的第22题。这些试题往往能较好地考查学生抽象思维能力和数学思想,如特殊与一般、数形结合思想等。预测2004年高考对对应法则的考查可能会以图像、表格的形式出现,也可能以抽象函数形式出现,如例10~12。
  (2)近几年高考很注意对分段函数的考查,它能很好地考查学生分类讨论、数形结合等能力。如2000年广东卷应用题、2002年北京卷第11题、新课程高考卷第4题、上海卷第15题、2003年新课程高考卷第3题等。预测2004年可能会以选择、填空题或应用题的形式出现,以求函数值或解不等式为主,如例13~14。
  例5.已知函数

    且 h(-1)≈1.62,则h(1)≈( )
  a.0.38 b.1.62 c.2.38 d.2.62 (选c)
  例6.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x) 当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于( )
   a.0.5 b.-0.5 c.1.5 d.-1.5 (选b)
  例7.设f(x)和g(x)都是定义在r上的奇函数,f(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上的最大值为5, 则f(x)在区间(-∞,0)上有( )
  a.最大值为-5 b.最小值为-5
  c.最大值为-1 d.最小值为-1 (选d)
  例8.设函数,若x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求实数a的取值范围。
  (答案:a>-(3/4))
  例9.已知定义在实数集r上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x/(4x+1)。(1)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)证明f(x)在(0,1)上是减函数;

  (3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在[-1,1]上有实数解?
  

  (2)减函数;
  (3)λ∈

  例10.函数y=f(x)在区间(0,2)上时增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
  

  例11.一组实验数据如下表:
  

  则下列四个关系式中,最接近实验数据的表达式(所谓最接近实验数据的表达式是指:将表中各组数据代入表达式后,等式左右两边值的差的绝对值均不超过1)为( )
  a.v=log2t b.t·2v=1
  c.2v=t2-1 d.v+2=2t (选c)
  例12.某学生一天早晨离家去学校,开始骑自行车,中途自行车破胎,他只好推着自行车赶去学校,若这天早晨他从家里出来后离学校的距离表示为他出发后的时间t的函数:d=f(t),则函数f(t)的大致的图像是下列图中的( )

  

  例13.(2003年新课程)设函数,若f(x0)>1,

则x0的取值范围是( ) (选d)
  a.(-1,1) b.(-1,+∞)
  c.(-∞,-2)∪(0,+∞)
  d.(-∞,-1)∪((1,+∞) 
  例14.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元但不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11%纳税,某人出版了一本书,共纳税420元,这个人的稿费为( )
  a.3800元 b.3000元
  c.4620元 d.4000元 (选a)
  3.函数的图像
  函数的图像是函数关系的一种直观、形象的表示,是运用数形结合思想方法的基础。高考主要考查学生“画图、识图、用图”的能力,考查形式有三种:一是直接考查运用所学各种基本初等函数的图像及图像变换的能力;二是考查从图像中获取信息(如奇偶性、单调性、周期性、对称性以及特殊点的位置、渐近线等)的能力;三是借助数形结合的思想,寻求解答思路及方法。预测函数的图像仍是04年高考热点之一,其中的图像及其性质应给予足够重视,如例15~16。
  例15.已知f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x)的图像如图所示,那么不等式f(x)·cosx<0的解集为( )

  

  a.(0,1)∪(2,3) b.(0,1)∪(1,3)
  

  例16.函数

  a.在(-1,+∞)内单调递增
  b.在(-1,+∞)内单调递减
  c.在(1,+∞)内单调递增
  d.在(1,+∞)内单调递减   (选c)
  4.反函数
  高考对反函数常有考查,但难度都不大,加上新教材对反函数要求的降低,如果04年高考考查反函数,可能以定义域与值域的互逆关系,对应法则的互逆关系以及图像关于直线y=x对称为主要考查内容,如例17~18。
  例17.已知函数是定义在r上的奇函数,当x<0时,f(x)=(1/3)x,那么f-1(-9)的值为( )
  a.2 b.-2 c.3 d.-3 (选a)
  本例是对反函数、分段函数、函数性质、指数或对数计算以及函数图像的综合考查。

  d. (选b)
  5.二次函数
  二次函数是初高中常识最紧密的衔接点,是中学数学中最基本、最重要且应用最为广泛的一种初等函数。二次函数的基础常识与解决问题的能力几乎渗透到中学数学的每一个章节之中。纵观近几年的高考试题,涉及到“三个二次”及其运用的题型频频出现,成为高考数学的一个热点问题。高考对二次函数的考查是全方位的,以二次函数为背景的综合性问题也经常出现。2004年高考仍会以考查三个“二次”的关系为主,涉及分类讨论的思想和方法,而以“对称轴”分类为重点考查内容,可能会有一个选择题和一个以“二次”为背景的解答题,如例19~21。
  例19.(2002年全国理)函数y=x2+bx+c,x∈[0,+∞)是单调函数的充要条件是( )
  a.b≥0 b.b≤0 c.b>0 d.b<0 (选a)
  例20.(2003上海)y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b=   。(答案:6)
  例21.设函数f(x)=x3-2x2+kx+1,
  1若f(x)的单调递减区间为(1/3,1),求实数k的值;
  2若f(x)在(1/3,1)内单调递减,求实数k的取值范围。
  略解:求导得,f′(x)=3x2-4x+k 1命题等价于 f′(x)=3x2-4x+k<0的解集为(1/3,1),解得k=1;2命题等价于f′(x)=3x2-4x+k<0在(1/3,1)上恒成立,即k<4x-3x2在(1/3,1)上恒成立,解得k≤1。

   6.复合函数
  复合函数在教材中的内容并不多见,高考对复合函数的考查也不多,如果考查,以简单复合函数求导和二次函数与指、对数函数的复合为主要内容,重点考查等价转化的能力,如例22。
  例22.函数f(x)= log1/2(x2-2ax+3),解答下列问题:
  1若函数的定义域为r,求实数a的取值范围;2若函数在区间[-1,+∞)内有意义,求实数a的取值范围; 3若函数的定义域为(-∞,1)∪(3, +∞),求实数a的值;4若函数的值域为(-∞, -1],求实数a的值;5若函数在(-∞,1]内为增函数,求实数的取值范围。
  (答案:1-√3< a<√3; 2(-2,√3);3 2; 4 ±1; 5 1≤a< 2 )
  7. 导数与函数
  导数作为解决问题的有效工具和进入高一级学校学习的必备基础常识,逐渐成为高考命题的一个热点。如2000年天津卷的第19、20题(应用题),上海卷的第19题;2001年新课程卷的第21题(单调性问题);2002年新课程卷的第20题(切线问题);2003年新课程卷的第19题(理)(单调性问题)、(文)(切线问题)。由此可预测2004年高考导数仍是热点之一,以导数的应用(求极值、最值、单调性及几何意义)为命题方向,题型可能是以函数、数列、不等式或解析几何为背景的综合题,如例23~24。
  例23.设函数f(x)与数列{an}满足关系:

  (1)a1>α,其中α是方程f`(x)=x的实根;

  (2)an+1= f(an),(n ∈n). 如果0<f′(x)<1
  (Ⅰ)证明an>α (n ∈n); (Ⅱ)判断an与an+1的大小,并证明你的结论。
  (Ⅰ)证明略;(Ⅱ)略解:令g(x)=f(x)-x,∴an+1=f(an)=g(an)+an
  且g′(x)=f′(x)-1<0,∴g(x)在定义域上是减函数。
  ∴an+1-an=g(an)<g(αn)<g(α)=f(α)- α=0,∴an+1-an<0,即an>ak+1
  例24.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-,0)上是增函数,在[0,2〗上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别是α,2,β。
  (1)求c的值; (2)证明f(1)≥2; (3)求的范围。
  略解:(1)∵f'(x)=3x2+2bx+c,x=0是方程 f′(x)=3x2+2bx+c=0的根,∴c=0。
  (2)由(1)得f′(x)=3x2+2bx≤0在[0,2〗上恒成立,

  ∴

  解得b≤-3 又因为方程f(x)=0有三个根α,2,β,
  ∴f(x)=(x-2)(x-α)(x-β)=x3+bx2+d,
  (x-α)(x-β)=x2+(b+2)x+2(b+2)。
  ∴α+β=-(b+2),αβ=2(b+2)。
  ∴f(1)=-(1-α)(1-β)
      =-[1-(α+β)+ αβ]
      =-1-3(b+2)≥2。
  (3)|α+β|2=(α+β)2-4αβ=(b+2)2-8(b+2) 9,∴|α-β|≥3。
  8.函数应用题
  加强对应用意识的考查,是1993年以来数学高考命题的方向之一。预测04年高考的应用题比往年会有所增加,在主客观题中都会出现,既有排列、组合和概率这些常规题,又有函数建模问题,背景是日常生活中的“多、快、好、省”问题。会适当降低建立数学模型的难度,增加解决所转化成的数知识题的难度(数学味更浓一些)。出题原则是:贴近生活,贴近课本,背景合理熟悉,例25~26。
  例25.(2002年北京)将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形和圆的面积之和最小,正方形的周长应为    。 (答案:) 

  例26.某市重点中学高三年级举行的一次统考中,共有4000名考生,数学科共抽调了57名教师集中阅卷,决定将这些教师分成两组,第一组老师专门阅客观题(指选择题和填空题),第二组老师专门阅主观题(指解答题),已知阅完一份客观题需要30秒钟,阅完一份主观题需要8分钟,为了在最短时间内完成阅卷任务,应如何将这些教师分组?最短的阅卷时间是多少小时?
  解:设第一组安排x人,则第二组安排57-x人,两组完成任务的时间分别为t1,t2,则t1=

  ∴t1是x的减函数,t2是x的增函数,令

  ∴阅卷时间

  当x=x0时,f(x)取极小值,∴当x=3或4时, f(x)最小。
  ∵f(3)=t1≈667(min),f(4)=t2≈604(min),∴第一组安排4名教师,第二组安排53名教师,阅卷时间最短,最短阅卷时间为10.1小时。
  函数常识是高中数学的主线,函数思想是学数学、用数学最主要的思想。只有认真地研究高考对函数内容的命题趋势,重视2004年数学高考《考试说明》和历年高考试题特别是新课程高考试题对命题的导向作用,夯实基础,培养能力,函数的复习备考才能“事半功倍”。

(编辑单位 广州市第五中学
本文学科编辑 许世红)


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