抓住常识主干 落实新增内容

——谈数学新课程高考

李 敏

  数学新课程精简了传统课程内容,更新了常识和教学方法,强调灵活性和综合性,重视数学应用.课程增加了简易逻辑、平面向量、空间向量、概率统计、导数、随机变量等现代数学内容,体现出数学与传统的、现代的学问的交融和新的导学理念.新课程高考卷促进了新增内容的教与学,在全面考查基础常识的同时,注意突出新内容在高考试题中的权重。笔者根据近几年试点省份的新课程卷,结合高三数学教学实际,谈点看法。
  一、新课程数学高考卷的四大特点
  1.立足基础常识,重视考查能力
  近几年的新课程数学高考卷抓住主干常识,“重点”常考常新.重点常识是支撑常识体系的主要内容,在高考试卷中占有较高的比例,并达到必要的深度,构成数学试题的主干.“常考常新”体现在提出问题的视角新、常识组合的途径新。
  例1 (2003年高考广东卷) 设函数f(x)=

若f(x0)>1,则x0的取值范围是( )。

  

  说明:主要考查分段函数和不等式的基本性质和一般解法,答案是d。
  例2 (2003年高考天津卷) 已知方程 (x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的的等差数列,则( )。
   a. 1 b.3/4 c.1/2 d. 3/8
  说明:主要考查一元二次方程根与系数的关系和等差数列通项公式的运用,答案是c。
  例3(2003年高考天津卷) 已知双曲线中心在原点且一个焦点为,直线y=x-1与其相交于m、n两点,mn中点的横坐标为-2/3,则此双曲线的方程是( )。

  

  说明:主要考查直线和圆锥曲线的关系及圆锥曲线的几何性质,答案是d。
  例4 (2003年高考江苏卷)、已知函数是r上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求φ和ω的值。

  说明:主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本常识,以及分析问题和推理计算能力。答案是:

   2.重视数学思想方法的考查,突出数学学科特点
  新课程数学高考卷注意题目信息的配置,充分考虑不同角度运用不同的思想方法,创设多种解题途径,使不同思维层次的考生都有表现的机会,从而有效地区分不同的数学能力和水平。
  例5(2003年高考上海卷) a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合m和n,那么“a1/a2=b1/b2=c1/c2”是“m=n”的( )
  a.充分非必要条件。
  b.必要非充分条件。
  c.充要条件。
  d.既非充分又非必要条件。
  注:本题求解的关键是考虑特殊的情景。应选d。
  例6 (2003年高考全国卷)在平面几何里,有勾股定理:“设△abc的两边ab,ac互相垂直,则ab2+ac2=bc2.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系.可以得出的正确结论是:“设三棱锥a—bcd的三个侧面abc、acd、adb两两相互垂直,则      ”。
  说明:从线段→面积 两边→三面 的类比得,考查学生应用类比方法解决新问题的能力。
  3.关注社会热点,加强数学应用。
  联系教学实际,以社会热点为载体,降低对考生建模能力的要求,重点考查考生的数学综合素质,是新高考应用题命题的方向.关注社会现象、关注学生的整体发展、考查实践动手能力、开放情景设置、实现多元化的评价标准及敬重学生的个性将是新高考数学应用题的聚焦点。
  例7 (2003年高考上海卷)某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 。(结果用分数表示)
  答案是:119/190。
  例8 (2003年高考广东卷) 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市o(如图)

的东偏南θ(θ=arccos)方向300km的海面p处,并以20km/h的速

度向西北方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

  说明:考生熟悉本题的背景常识,解决此类问题的策略也是通性通法。答案是:在12小时后该城市开始受到台风的侵袭。
  4.重视新增内容,体现课改理念。
  新教材增加了向量、概率统计、导数、线形规划等方面的新内容。这些内容是现代数学的重要基础常识,蕴涵了丰富的数学思想方法和数学语言,提供了应用广泛而且十分有效的数学工具。新课程数学高考卷在新增内容上给予了充分的重视。
  例9 已知四边形abcd是菱形,点p在对角线ac上(不包括端点a、c),则a

   

  说明:答案是:a。
  例10 (2003年高考江苏卷) 已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点o以c+λi为方向向量的直线与经过定点a(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点p,其中λ∈r.试问:是否存在两个定点e、f,使得|pe|+|pf|为定值.若存在,求出e、f的坐标;若不存在,说明理由。
  说明:本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。
  例11 (2003年高考天津文科卷) 已知正四棱柱abcd—a1b1c1d1。ab=1,aa1=2,点e为cc1中点,点p为bd1中点。
  (1)证明ef为bd1与cc1的公垂线;
  (2)求点d1到面bde的距离。

  说明:本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础常识,考查空间想象能力和推理能力,建立空间坐标系是解决空间图形问题的有效方法。
  答案是(2)

  由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,使它成了数形结合的桥梁,成为数学基础常识的一个交汇点,成为各学科内容之间互相渗透的媒介.近几年,新课程试卷对向量的考查力度逐年加大.除了考查向量的基本常识,立体几何大题总是利用向量代数方法解决空间图形的平行、垂直、距离与夹角的度量.为了便于选择坐标系,研究的载体往往是正(直)多面体,既控制了题目难度,又使试题体现“改”和“新”。
  例12 (2003年高考天津理科卷) 设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],则p到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )
   

  说明:答案是b。
  例13 (03年高考天津理科卷)、设a>0,求函数的单调区间。

    内单调递增。

  因此,函数f(x)在区间内单调递减。

  说明:本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。把导数与函数内容有机地结合起来.利用导数处理函数的单调性、极值性,证明等式和不等式,不仅降低了难度,快速简便,而且有利于提高学生的数学素质,培养应用意识和创新精神。
  例14 (2003年高考天津文科卷) 有三种产品,合格率分别是0.90,0.95和0.95,各抽取一件进行检验。
  (Ⅰ)求恰有一件不合格的概率;
  (Ⅱ)求至少有两件不合格的概率。(精确到0.001)
  说明:本题主要考查相互独立事件概率的计算,运用数学常识解决问题的能力。
  例15(2003年高考天津理科卷) a、b两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,a队队员是a1,a2,a3,b队队员是b1,b2,b3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下:

   

  现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分,设a队、b队最后所得总分分别为ξ、η
  (1)求ξ、η的概率分布;
  (2)求eξ,eη。
  说明:本题考查离散型随机变量分布列和数学希望等概念,考查运用概率常识解决实际问题的能力。
  高考中出现的概率问题,与其它问题有所区别,通常具有一定的应用性,一般有三种类型:一是课本中出现的,从实际生活中概括出来的,二是与横向学科有联系的问题,三是具有时代气息的数知识题.三年来依次考查了概率中的四个公式(等可能性事件的概率,互斥事件的概率加法、独立事件的概率乘法公式的应用,事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率)。
  二、新课程数学高考命题的三种趋势
  1.新大纲规定的教学目的和要求会进一步贯彻落实
  新教材复习题的设计新颖优美,难度接近高考,很有拓展、开发和挖掘的余地和空间.综观新教材高考卷,不难发现很多小题源于教材,许多综合题也由课本例、习题的组合、加工和延拓而成.如2003年新高考江苏卷第(21)题,就是新教材选修i第62页关于导数公式推导的推广和引申.因此,大家要发挥课本例、习题的基础性、典型性和示范性功能。
  2.稳中有变,变中求新,能力立意,情景新颖,设问灵活等高考命题思路会进一步贯彻落实
  如:如何检测“研究性课题”的教学效果,考查学生在“研究性学习”中逐步培养成的探索创新精神,这是高考命题的一个难点.近两年来,数学高考卷对此做了十分有益的探索和实践,获得了广大数学教育工编辑的好评.比如,新教材2002年河南、江苏卷的第(21)题:三角形数列的研究,等等,它们形式活泼,取材新颖,可谓匠心独运,很好地考查了新课改研究性学习的新理念.可以预测,今后高考卷将会更倡导研究性学习,更显现研究性学习的特点。
  3.新课程大纲规定的高中数学的新增内容的考查会继续加大比例
  新高考复习要有新思路、新方法,要努力构建新的常识网络,对原教材中的旧东西、旧重点要放得下,要会忍痛割爱.比如,大家重新审视高考数学的重点,就不难发现旧高考的五大重点(即函数与方程、不等式、数列、直线和平面、圆锥曲线)的格局已经打破,取而代之的将是新的七大重点,即函数与方程、不等式、数列与导数、概率、平面向量、圆锥曲线、直线平面及简单几何体.新增内容的考查会继续加大比例,综合性会加强,难度会控制,不同内容,要求不同.笔者建议,对新课本的新增内容,以下问题特别值得关注:(1)空间向量.把空间图形的性质代数化,用向量代数的方法解决空间的平行、垂直、距离与夹角的度量.(2)简单的线性规划.讨论在二元一次不等式等线性约束条件下,求线性目标函数的最大值和最小值的问题.应用线性规划的理论和方法,解决生产实际中最优化问题.(3)概率与统计.贴近生活,解决实际中的一些简单问题.(4)利用导数研究函数的性态,如:单调性,极值性等,画出函数的特征图,证明简单的等式和不等式,解决二次曲线中的切线问题等。
  顺应素质教育的需要,数学新课程恰当精简了传统课程内容,更新了常识和教学方法,强调灵活性和综合性,重视数学应用。新课程对数学地位的认识提到了一个新的高度。
  参考文献:
  1. 教育部考试中心 “高考内容、形式与能力考查”课题组 《数学——历年高考试题精选解析》 中国人民大学出版社 2003年版
  2.《高考备考指南 数学》 系统复习用书 华南理工大学出版社 2003年版
  3.《十年高考分类解析与应试策略 1994-2003 数学》 南方出版社 2003年版

(编辑单位 广州市第113中学
本文学科编辑 许世红)


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